Réflexions mathématiques personnelles
Je vous propose ici quelques documents sur les maths.
Une somme télescopique
Un article où l'on présente une formule de sommation très élémentaire mais étonnante. Avec cette formule, on peut
-Calculer la somme des inverses des coefficients d'une colonne du triangle de Pascal.
-Établir la formule d'Apery pour
-Bien d'autres égalités
Sur la somme
Si calculer la somme des coefficients d'une ligne du triangle de Pascal est simple, quid de la somme des inverses ?
Je découvre (en 2011) que la relation donnée dans ce document date de 1981 (je n'ai que 21 ans de retard !), en voici une généralisation :
COMBINATORIAL IDENTITIES AND INVERSE BINOMIALCOEFFICIENTS
Deux suites en miroir
En 2001, B.Cloitre a été intrigué par deux suites "en miroir". Cela m'a inspiré ce petit texte sans prétention.
Formules BBP
Une prépublication du laboratoire d'Analyse Numérique le Lille : Ou comment construire, à la pelle, des formules BBP pour vos constantes favorites....
Formules BBP en base 3
Vous connaissez sans doute la célèbre formule de Plouffe
Elle permet le calcul de Pi en base 2. Il existe des formules analogues en base 3. Cet article leur est consacré.
Calcul des intégrales de Fresnel
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Un problème d'équerre.
Prenez une équerre, faites la glisser le long d'un mur. Quel est le lieu du sommet de l'angle droit ? Plus généralement, quel est le lieu d'un des points de l'équerre ? La solution proposée fait usage du calcul formel.
Autour de la primitive de :
Une brève introduction aux polylogarithmes suivie de calculs de séries et autres fantaisies mathématiques. (un texte ancien, tout comme les deux suivants qui ont servi pour le site de Boris Gourevitch )
Une intégrale sur un chemin : Un texte ancien, pas finalisé, mais on y trouve une preuve de la célèbre formule de Comtet
Sommes d'Euler et analogues : Quelques calculs de sommes d'Euler et analogues
Calculs d'intégrales : Un nouveau document, basé sur le précédent, qui propose quelques résultats comme celui ci :
Étude d'une fonction arithmétique :
Un document inspiré d'un oral du Capes Externe 2006 : Étude de la fonction f(m,n)=(m+n)/pgcd(m,n) et des parties stables de N par f.
Le théorème d'Erdös sur les fonctions arithmétiques monotones :
Une fonction est dite arithmétique si f(mn)=f(m)f(n) lorsque m et n sont premier entre eux. Erdös a prouvé que si f est de plus croissante, alors c'est une fonction simple. Ce document en donne une preuve (simple, niveau sup..)
Note informelle sur le wronskien et les équations différentielles du second ordre : Tout est dans le titre !! Niveau Maths Spé bien sur !!
A propos d'un problème posé par S.Ramanujan dans le Journal of the Indian Mathematical Society :
Dans le JIMS n°8 Ramanujan pose la question suivante :
Le but de cet article est de démontrer (et de préciser) ce résultat avec des moyens élémentaires.
A propos d'un exercice d'oral :
La suite des parties entières de n 2 contient-elle une infinité de puissances de 2 ?